El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que en el espacio se especifique una medida de longitud; así las medidas de área usuales en el espacio euclídeo, se basan en la medida de Lebesgue o en la longitud de curvas dada por la métrica de Riemann euclídea.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,² así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas

Áreas en un plano cuadriculado.

• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:³

{\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

{\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}}

donde a y b son los catetos.

• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

• Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

{\displaystyle A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}}

donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero[editar]

Trapezoide.

• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

{\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}}

El área también se puede obtener mediante triangulación:

{\displaystyle A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}}

Siendo:

{\displaystyle \alpha \,} el ángulo comprendido entre los lados {\displaystyle a\,} y {\displaystyle d\,}.

{\displaystyle \gamma \,} el ángulo comprendido entre los lados {\displaystyle b\,} y {\displaystyle c\,}.

• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:³

{\displaystyle A={a\cdot b\,}}

• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

{\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}}

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:³

{\displaystyle A=a\cdot a\,=a^{2}}

• El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:³

{\displaystyle A=b\cdot h\,}

• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):³

{\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}\cdot h}

Área del círculo y la elipse[editar]

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁴

{\displaystyle A=\pi r^{2}\,}

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁵

{\displaystyle A={\ \pi ab}}